Một số nhà tư tưởng vĩ đại nhất muốn xác định bản chất của sự suy luận toán học để đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn về khái niệm ‘chứng minh’ trong môn này. Để đạt mục tiêu đó, họ đã cố gắng hệ thống hóa quá trình tư duy suy luận của con người, và áp dụng vào toán học. Họ phỏng đoán rằng logic và toán học có mối quan hệ với nhau và toán học có thể là một nhánh của logic, hoặc ngược lại. Từ đó, họ cho rằng chúng ta có thể áp dụng phương pháp suy diễn logic của hình học cho toán học. Khi đó, tất cả các kết quả đúng của một hệ thống có thể bắt nguồn từ một tập nhỏ các tiên đề cơ sở.
‘’Sự phát triển theo tiên đề của hình học đã gây ấn tượng mạnh mẽ đối với các nhà tư tưởng trong mọi thời đại. Vô tận các mệnh đề đã được rút ra từ một số lượng nhỏ các tiên đề’’. Tiến sĩ triết học Ernest Nagel và Tiến sĩ toán học James R. Newman đã viết trong cuốn sách của họ Chứng minh của Gödel: “Hình thức tiên đề của hình học là mô hình kiến thức khoa học tốt nhất, đối với nhiều thế hệ các nhà tư tưởng xuất chúng”.
Mâu thuẫn dai dẳng trong Logic
Tuy nhiên, những nghịch lý cố hữu luôn tồn tại trong logic. Chúng cũng đã được phát hiện trong lý thuyết tập hợp, chẳng hạn như Nghịch lý Russell. Những nghịch lý đó đều có hai điểm chung: tự tham chiếu và mâu thuẫn. Một nghịch lý đơn giản và phổ biến là ‘’nghịch lý kẻ nói dối’’. Nghịch lý Epimenides là dạng đầu tiên được biết đến của nghịch lý người nói dối. Phiên bản phổ biến phát biểu như sau: "Epimenides, một người dân của đảo Kríti, đã nói: Tất cả dân đảo Kríti đều là kẻ nói dối". Thomas Fowler (1869) mô tả nghịch lý như sau: "Epimenides người đảo Kríti nói rằng tất cả các dân đảo Kríti là những kẻ nói dối, nhưng Epimenides cũng là một dân đảo này, vì vậy ông cũng là một kẻ nói dối. Nhưng nếu ông ta là một kẻ nói dối, thì những gì ông nói đều không đúng sự thật, và do đó các dân đảo Kríti là những người thật thà, nhưng Epimenides là một người dân của đảo này, và do đó những gì ông nói đều đúng sự thật. Vì vậy chúng ta cứ chứng minh vòng vòng, giữa Epimenides và các dân đảo Kríti là nói thật và nói dối ". Tóm lại, tuyên bố đó có thể không đúng cũng không sai. Đơn giản là nó không thể khẳng định được. Từ việc phát hiện ra những nghịch lý trong lý thuyết tập hợp, các nhà toán học nghi ngờ rằng có thể có những khiếm khuyết nghiêm trọng trong các nhánh khác của toán học.
- Nghịch lý Epimenides là dạng đầu tiên được biết đến của nghịch lý người nói dối. (Ảnh: Wikipedia)
Trong cuốn sách của mình: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid* (tạm dịch: Gödel, Escher, Bach: Sự gắn kết nội tại quý như vàng), Tiến sĩ Douglas Hofstadter, giáo sư khoa học nhận thức tại Đại học Indiana ở Bloominton, đã viết: “Những loại vấn đề nảy sinh trên nền tảng toán học như thế này đã tạo ra sự quan tâm lớn trong việc mã hóa các phương pháp suy luận của con người trong những năm đầu của thế kỷ XX. Các nhà toán học và triết học đã bắt đầu có những nghi ngờ nghiêm trọng về việc có phải những lý thuyết cụ thể nhất, chẳng hạn như nghiên cứu về số nguyên (lý thuyết số), đã được xây dựng trên nền tảng vững chắc không. Nếu nghịch lý có thể được phát hiện dễ dàng như vậy trong lý thuyết tập hợp, thì liệu các nghịch lý đó cũng sẽ không tồn tại trong các nhánh khác của toán học?’’
Các nhà logic học và toán học đã cố gắng giải quyết những vấn đề này. Một trong những nỗ lực nổi tiếng nhất được Alfred North Whitehead và Bertrand Russell thực hiện trong tác phẩm đồ sộ của họ Nguyên lý Toán học. Họ nhận ra rằng tất cả các nghịch lý đều có liên quan đến tự tham chiếu và mâu thuẫn, họ sắp xếp chúng thành một hệ thống phân cấp để không cho phép diễn ra cả hai nghịch lý. Về cơ bản, Nguyên lý Toán học có hai mục tiêu: một là cung cấp phương pháp suy diễn toán học hoàn chỉnh từ một tập hợp tiên đề hữu hạn, hai là để chắc chắn không có nghịch lý.
Vào thời điểm đó, không rõ liệu Russell và Whitehead có thực sự đạt được mục tiêu của họ hay không. Có rất nhiều sự tranh luận xung quanh chủ đề này. Nền tảng của logic và toán học dường như không vững chắc. Các nhà toán học hàng đầu trên thế giới đã dành khá nhiều nỗ lực để thẩm tra công việc của Russell và Whitehead.
Triết học rất năng động, và nó dường như không có quy tắc và giới hạn nghiêm ngặt. Triết học không có ranh giới xác định trong các lĩnh vực để khám phá, và nó cũng có thể nghiên cứu chính xác bản chất của khoa học, nghệ thuật và đạo đức.
Cách mạng Copernican trong triết học
Cuộc cách mạng này sinh ra khoa học hiện đại và ảnh hưởng đến sự phát triển của các công cụ đáng tin cậy và thiết yếu nhất của khoa học hiện đại, như logic và phương pháp luận. Triết học là tự do, tự do như tâm trí con người, chỉ giới hạn bởi trí tưởng tượng của mỗi người. Một số triết gia hy vọng rằng, với sự trợ giúp của khoa học, cuối cùng họ có thể hiểu được bản chất của vũ trụ.
Tuy nhiên, sau hàng ngàn năm nghiên cứu triết học từ thời Hy Lạp cổ đại, niềm hy vọng và sự lạc quan lớn vào triết học cuối cùng đã sụp đổ. Immanuel Kant, sinh ngày 22 tháng 4 năm 1724, đã gây ra một cuộc cách mạng Copernican trong triết học trong những năm cuối đời. Ông được coi là nhà triết học hiện đại có ảnh hưởng nhất. Nhà thơ Heinrich Heine đã viết về ông:
‘’Ông sống một cuộc sống độc thân cổ điển theo trật tự và trừu tượng, sinh sống, uống cà phê, viết lách, giảng bài tại trường đại học, ăn uống, đi bộ, tất cả đều có thời gian cố định. Khi Immanuel Kant xuất hiện trong chiếc áo khoác màu xám, với chiếc ba toong trong tay, rời khỏi cửa nhà thì hàng xóm biết rằng đó chính xác là ba giờ rưỡi. Ông thường đi đến đại lộ Lime Tree, cho đến nay nơi đây vẫn được gọi tên là ‘’Đại lộ Triết gia’’ để tưởng nhớ đến ông. Có một sự tương phản kỳ lạ giữa cuộc sống của ông và tư tưởng hủy diệt, nghiền nát thế giới của ông!’’ (Trích từ cuốn sách của Henry D. Aiken, Thời đại tư tưởng, trang 27-28).
Năm 1781, Kant xuất bản cuốn Phê phán lý tính thuần túy, một tư tưởng nghiền nát thế giới của ông. Nó dài hơn 800 trang. Đó là một cuộc kiểm tra nghiêm túc và nghiêm ngặt về ‘’lý tính thuần túy’’.
Theo Kant, khi lý tính thuần túy vượt quá khả năng trải nghiệm của con người, thì chắc chắn nó sẽ rơi vào mâu thuẫn, trong đó một luận điểm và phản đề của nó đều có giá trị như nhau. Ví dụ, hãy xem xét một câu hỏi như ‘’Vũ trụ là hữu hạn hay vô hạn?’’ Sau đó, đối với một luận điểm rằng Vũ’’ trụ là hữu hạn’’, thì sẽ có một phản đề không thể tránh khỏi rằng ‘’Vũ trụ là vô hạn’’. Không trải qua thực nghiệm, lý tính thuần túy trở thành sự suy đoán từ thực tiễn.
Kant đã phá vỡ giá trị của một số tác phẩm triết học quan trọng nhất của siêu hình học được nhiều người tin tưởng qua nhiều thế hệ.
Trong siêu hình học, nhiều thế hệ các nhà triết học đã cố gắng đưa ra giải thích về bản chất của vũ trụ. Theo Kant, những nỗ lực đưa ra một bức tranh hoàn chỉnh về vũ trụ như vậy, vượt ngoài tầm kinh nghiệm của con người, luôn dẫn đến những mâu thuẫn không thể tránh khỏi. Trước Kant, các nhà triết học đã tranh luận không có hồi kết về bản chất của vũ trụ.
Thật ra, Kant không có ý định phá hủy siêu hình học. Thay vào đó, ông muốn cứu nó bằng cách thiết lập các phương pháp an toàn của khoa học tự nhiên cho siêu hình học. Kant có hiểu biết sâu sắc về khoa học bởi vì, theo nhiều cách, ông chính là một nhà khoa học. Ông được coi là người sáng lập của một lĩnh vực chính trong khoa học hiện đại. Allen W. Wood, trong phần giới thiệu về cuốn sách Những bài viết cơ bản của Kant, đã viết:
‘’Là một nhà nghiên cứu, Kant dành phần lớn thời gian và trí tuệ của mình cho khoa học tự nhiên như: vật lý, toán học, hóa học, thiên văn học và ngành học (mà bây giờ ông được coi là người sáng lập) của 'địa lý vật lý', bây giờ gọi là 'khoa học trái đất’’.
Kant muốn nâng cao vị thế của siêu hình học đến mức độ của một khoa học chân chính. Trớ trêu thay, bước đầu tiên và là cách duy nhất ông cần làm là chứng minh những hạn chế vốn có của siêu hình học. Vậy thì siêu hình học không nên suy đoán về những thứ như bản chất tối thượng của vũ trụ. Thay vào đó, siêu hình học nên tìm hiểu và hạn chế nghiên cứu ở những điều thực tế hơn có thể dựa trên kinh nghiệm của con người.
Giới hạn của Khoa Lý tính thuần túy
Phê bình Lý tính thuần túy cũng là một bài kiểm tra quan trọng của Khoa lý tính thuần túy, bản chất và cấu trúc của tâm trí con người. Bằng khái niệm ‘’lý tính thuần túy’’, Kant đã đề cập đến một hình thức thuần túy của một kiến thức tiên nghiệm (trước khi trải nghiệm), không liên quan đến kiến thức hậu nghiệm (sau khi trải nghiệm).
Kant tin rằng các khái niệm về không gian và thời gian, như trong hình học Euclide và cơ học Newton cổ điển, có nguồn gốc từ sự tổng hợp kiến thức tiên nghiệm, được xác định bởi một số đặc điểm bẩm sinh của tâm trí con người.
Tuy nhiên, rất lâu sau khi Kant qua đời, giờ chúng ta mới biết rằng Kant đã sai về điều này. Những tiến bộ trong toán học đã chỉ ra rằng các loại hình học khác nhau có thể có giá trị, trong đó có hình học Euclide. Và thuyết tương đối Einstein đã tiết lộ một quan điểm rất khác về không gian và thời gian. Kant sẽ còn ngạc nhiên hơn nữa bởi lý thuyết lượng tử, đưa ra khái niệm về sự không xác định thách thức khái niệm cơ bản nhất về nguyên nhân và kết quả.
Mặc dù Kant có phần lỗi thời, nhưng các nguyên lý chính của ông vẫn còn giá trị cho đến ngày nay kể từ khi ông lần đầu tiên công bố tư tưởng ‘’nghiền nát thế giới’’ của mình.
Theo Kant, tâm trí con người không giống như một tấm gương phản chiếu thụ động thực tế từ thế giới bên ngoài. Thay vào đó, tâm trí tích cực tham gia vào việc quản lý và tổ chức dữ liệu cảm giác, biến các cảm giác đó trở thành nhận thức và khái niệm. Theo Kant, sự phân biệt rõ ràng giữa kiến thức tiên nghiệm và kiến thức hậu nghiệm là điều quan trọng. Kiến thức tiên nghiệm dẫn dắt tâm trí đến những gì tâm trí có thể cảm nhận được. Vì vậy, nhận thức về thế giới bên ngoài không chỉ đơn thuần xuất phát trực tiếp từ các giác quan. Thay vào đó, tâm trí hình thành và thêm vào các nhận thức.
Theo Kant, những gì tâm trí chúng ta cảm nhận và hình thành giả thuyết chủ quan là khác với những thứ bên ngoài. Mặc dù Kant tin rằng những thứ khách quan tồn tại bên ngoài tâm trí của chúng ta, ông kết luận rằng tâm trí con người không bao giờ biết được ‘’những thứ bên trong chính bản thân họ’’.
Trong thời đại ngày nay, khoa học hiện đại là một phần không thể thiếu trong xã hội. Khoa học hiện đại phát triển cùng với xã hội phương Tây, và nó đã ảnh hưởng và bị ảnh hưởng bởi sự phát triển của công nghệ, kinh tế, phương pháp chiến tranh và văn hóa.
Là một phần của văn hóa, triết học có liên quan đặc biệt đến khoa học hiện đại. Mặc dù khoa học hiện đại đã chuyên sâu vào các lĩnh vực chuyên môn riêng biệt và thường không tham gia vào triết học, nhưng để vượt qua giới hạn của lý thuyết khoa học, triết học vẫn đóng một vai trò quan trọng trong việc hướng dẫn những nhà khoa học tiên phong nhất đạt được các tiến bộ.
Triết học có thể làm điều này bởi vì nó không bị giới hạn trong khuôn khổ của một lý thuyết khoa học cụ thể. Sức mạnh của triết học bắt nguồn từ sức mạnh của tâm trí con người, ấy là khả năng suy luận một cách có ý thức và hợp lý về hầu hết mọi chủ đề.
Tuy nhiên, có một lực lượng lớn hơn triết học tác động đến tâm trí con người, đó là lực lượng của văn hóa và ngôn ngữ.
Ở phương Tây nơi khoa học hiện đại ra đời, một phương pháp suy luận có hệ thống được phát triển bởi người Hy Lạp cổ đại. Phương pháp lý luận có ảnh hưởng mạnh mẽ đến văn hóa và ngôn ngữ phương Tây liên quan đến những gì được coi là sự thật và tri thức.
Trong thời hiện đại, loại lý luận này, đặc biệt là lý luận suy diễn, đã được chuyển thành một hình thức cực đoan. Sự phát triển theo hình thức cực đoan này đã ảnh hưởng đến ba lĩnh vực chính của văn hóa phương Tây gắn liền với sự phát triển của khoa học hiện đại, đó là: triết học, toán học và vật lý.
Vấn đề nghịch lý chung
Mặc dù bề ngoài triết học, toán học và vật lý có vẻ rất khác nhau, nhưng với các phương thức suy diễn chung, chúng có những vấn đề chung. Trong từng lĩnh vực, việc theo đuổi sự hoàn thiện tuyệt đối và nhất quán về kiến thức đã dẫn đến mâu thuẫn.
Trong vật lý, các nhà khoa học đã cố gắng phát triển một lý thuyết toán học hoàn chỉnh và nhất quán mà về nguyên tắc có thể mô tả và dự đoán vô số hiện tượng vật lý. Nhưng sau nhiều thập kỷ nghiên cứu hướng tới mục tiêu đó, nguyên lý bất định đã xuất hiện ở trung tâm của vật lý. Trong một thế giới vi mô, vật chất dường như sở hữu các khái niệm kép và không nhất quán như sóng và hạt đồng thời tồn tại.
Theo logic luận, khi mọi người cố gắng mô hình hóa hoàn toàn và nhất quán tất cả toán học trong một hệ thống tiên đề, Gôdel đã chứng minh rằng không có hệ thống chính thức tiên đề nào có khả năng mô hình hóa số học đồng thời hoàn chỉnh và nhất quán. Một hệ thống chính thức như vậy phải không đầy đủ hoặc không nhất quán. Nếu một hệ thống như vậy hoàn tất, thì nó sẽ rút ra được các tuyên bố mâu thuẫn vừa đúng vừa sai.
Trong triết học, nhiều thế hệ các nhà tư tưởng đã cố gắng xác định bản chất cuối cùng của sự vật thông qua lý luận, cho rằng một chuỗi lý luận nhất quán hợp lý sẽ dẫn đến kết luận chính xác. Cuối cùng, Kant đã chỉ ra rằng những nỗ lực siêu hình như vậy liên quan đến ‘’lý tính thuần túy’’ vượt ra ngoài kinh nghiệm của con người chắc chắn sẽ dẫn đến những mâu thuẫn trong đó một luận đề và phản đề của nó có giá trị như nhau.
Trong tất cả những nỗ lực này, những nỗ lực để đạt được sự hoàn thiện và nhất quán tuyệt đối dường như làm phát sinh điều ngược lại. Cách duy nhất để tránh nghịch lý là hạn chế phạm vi nghiên cứu.
Huyền thoại của khoa học hiện đại
Khám phá về những vấn đề cơ bản này là một trong số những thành tựu lớn nhất của khoa học hiện đại. Không có thay đổi cơ bản, khoa học hiện đại không bao giờ có thể vượt qua những hạn chế này.
Sự lạc quan và niềm tin rằng, với đủ thời gian và công sức, khoa học hiện đại cuối cùng sẽ khám phá ra một lý thuyết hoàn chỉnh và nhất quán về vũ trụ bằng các phương pháp hiện tại thì đó chỉ là một huyền thoại.
Trong khi phấn đấu cho sự hoàn thiện và nhất quán tuyệt đối, khoa học hiện đại liên tục tự hạn chế phạm vi kiến thức về vũ trụ. Một phương pháp chung của khoa học hiện đại là loại bỏ những hiện tượng nằm ngoài khả năng của nó. Ngày nay, các nhà khoa học và triết gia thường nghiên cứu các khía cạnh bề ngoài của sự vật cho các mục đích thực tế.
Vật lý học là một thành phần của khoa học hiện đại mà các ngành khoa học khác cố gắng cạnh tranh. Một số nhà vật lý thực hiện các công trình tiên phong, với sự trợ giúp của triết học, để tiến lên vượt ra ngoài cơ học lượng tử. Tuy nhiên, lý thuyết của họ đang trở nên quá trừu tượng và cực đoan, vượt quá khả năng kinh nghiệm của con người, các lý thuyết này không thể xác minh và ngày càng gây tranh cãi.
Việc không có khả năng xác minh các lý thuyết đã cho thấy những hạn chế của các phương pháp của khoa học thực nghiệm. Nếu không có khả năng kiểm tra một lý thuyết, nó có thể trở thành như siêu hình học như Kant đã cảnh báo không?
Hơn nữa, các báo cáo toán học chính xác nhất có thể được diễn giải theo những cách rất khác nhau về liên hệ của chúng với thực tế. Trong cơ học lượng tử, một trong những lý thuyết được xác minh và đáng tin cậy nhất của khoa học hiện đại, các nhà vật lý vẫn có nhiều cách giải thích khác nhau và mâu thuẫn về ý nghĩa của nó và cách nó liên quan đến thực tế.
Tất nhiên khoa học hiện đại sẽ tiếp tục thực hiện vô số khám phá thú vị, chẳng hạn như các hành tinh trong các hệ mặt trời khác chưa từng được biết đến trước đây, và có lẽ một lý thuyết mới sẽ được các nhà vật lý công nhận. Tuy nhiên, đây chỉ là giải quyết được các câu hỏi cơ bản nhất trong phạm vi rất hạn chế. Các vấn đề cơ bản về vũ trụ và bản nguyên vật chất mãi sẽ vẫn là bí ẩn đối với nhân loại.
Xét về tổng thể chung, dường như khoa học hiện đại đang tiến gần đến đường tiệm cận của sự phát triển của nó bằng các phương pháp hiện tại.
Khung hạn chế của các khái niệm
Khoa học hiện đại bắt nguồn từ văn hóa phương Tây nơi nó được sinh ra. Những hạn chế cơ bản của khoa học hiện đại được kết nối với nguồn gốc đó. Điểm khởi đầu của khoa học hiện đại gắn liền với nền văn hóa cụ thể đã dẫn đến những đặc điểm riêng và đưa nó vào loại khoa học mà nó đã trở thành.
Nói cách khác, khoa học hiện đại và phương pháp của nó không được xây dựng trên cơ sở các kiến thức tiến bộ về vũ trụ. Thay vào đó, sự thiên vị văn hóa và các lực lượng xã hội khác ảnh hưởng và kìm hãm sự phát triển của nó. Ở dạng cực đoan, khoa học hiện đại áp đặt các giới hạn cho các lý thuyết của ngôn ngữ toán học trong một hệ thống khép kín.
Và không có gì đáng ngạc nhiên khi thiên nhiên không phù hợp với một chiếc hộp được xây dựng từ một khung khái niệm với các giới hạn đối với bất kỳ lý thuyết nào trong khuôn khổ đó. Nếu các lý thuyết nâng cao hơn có thể được đề xuất, thì vẫn nằm trong cùng một khuôn khổ, những hạn chế cơ bản vẫn còn tồn tại.
Một số khía cạnh của khoa học hiện đại, như phương pháp suy luận và hệ thống hóa, đã trở thành một khung hạn chế của các khái niệm. Trong khi thừa nhận những thất bại lớn của khoa học hiện đại, mọi người vẫn bám vào nó nói rằng không có sự thay thế nào tốt hơn.
Lịch sử khoa học đã chứng minh nhiều lần rằng những tiến bộ vượt bậc xuất hiện đều có liên quan đến các cuộc đấu tranh và vượt lên trên các ý tưởng đã được thiết lập. Mỗi đột phá ý tưởng đòi hỏi một sự sẵn sàng để từ bỏ các tư duy cổ điển.
